农技站有一片试验田，用纵、横的田埂划分成九个作物对比区。农技员每天都要过桥到试验田去巡回检套，把各块田的四周走遍，然后过桥返回。时间一长，农技员发现他每次都要走不少重复的路，于是向自己提了一个问题：不走重复的路，能不能把试验田的田境走一遍呢？要是能，可就省时间了。

城市的邮递员，能不能从邮局出发，不走重复的路，走遍负责的街巷，最后回到邮局呢？要是能，千家万户就能早看到书信和报刊。最早引起人们注意的，不是邮递路线问题，而是哥尼斯堡的七座桥。哥尼斯堡城现在叫加里宁格勒，布勒格尔河从这里流过。

这条河有两条支流在城中心汇合，舍流的地方有一个小岛A和半岛D，再加上两岸C、B，都是繁华的商业区。如图，在C、B、A、D之间架了七座桥。早在18世纪的时候，就有很多人探讨过，能不能不重复地一次走遍这七座桥呢？结果，谁也没有找到答案。经过分析，不同的路线有5040条，一条一条去试，未免太麻烦了。要是桥一多，走法上万，又该怎样办呢？

瑞士数学家欧拉解决了这个问题。他说，可以把七座桥简化成七条线，把岛A、半岛D和河岸C、B简化成四个点。于是，问题便转换成能不能把这个线图，一笔画成的问题。因为这个线图不能一笔画成，所以不能不重复地一次走遍这七座桥。这便是有名的哥尼斯堡七桥问题。

问题是怎样判断一个线图能不能一笔画成呢？要是能一笔画成，又应该从哪里开头，在哪里结束呢？

欧拉的线图，为解决这类问题建立了数学模型，就象我们解应用题建立了方程。这样，我们便可以丢开城市、河流、桥等具体情况不管，全力来研究解决线图上的问题。

现在，我们把线图中有偶数条线交会的点叫做偶点，有奇数条线交会的点叫做奇点。不管我们从哪一点出发，到哪一点画完，中间每经过一点，总是既有画到那点去的线，又有从那点画出来的线。所以，除了开头点和结束点外，其余的点，都必须是偶点才行。

根据这个道理，我们可以得到三条原则：

一，线图中的奇点数不大于两个，这个线图就能一笔画成，否则不行。

二，线图中要是没有奇点，那始点和终点重合；要是有两个奇点，那就必须从一个奇点开始，在另一个奇点结束。

三，线图中的奇点数，总是成对出现的。

七桥问题中的A、B、C、D都是奇点，根据第一条，不能一笔画出。也就是说，谁也不能不重复，一次走遍七桥。

画出巡回试验田的线图，数一数偶点和奇点各有八个，奇点数超过两个，根据第一条，不能一笔画成。也就是说，农技员不能不重复，一次走遍所有的田埂。

既然非重复不可，那就应该尽量少重复，使所走的总路程最少了。

对。根据第三条，既然奇点总是成对出现的，那我们只要在两个奇点之间，添上一条重复线，就能减少两个奇点，直到把线图中的奇点减少到两个，便能一笔画出来了。

七桥问题是四个奇点，根据第一条，只要把最短距离的两点找出来，在那里重复走一趟，减少两个奇点，便可以从剩下的一个奇点到另一个奇点，使走遍七桥的路程最短。要是A最短，最短路程便是D-A-C-A-B—A-B-D-C。

既然从D到C最短，那倒过来从C到D也是最短的。

巡回试验田问题，有八个奇点，并且要求始点和终点是一个，根据第二条，要把八个奇点全部变成偶点才行。这就需要添上BC、EF、NO、ＩJ四条虚线，沿着A-B-C-D-E-F-G-H—1-J-K-L-E-F-M-N-Ｏ-H-K-B-C-L-G-N-Ｏ-P-I--J一A的路线行走。对农技员来说，这是最短巡回路线。

添加重复线，一要本身不重复，二要使添加长不大于所在圈长的一半。复杂一些的线图，按照这两条进行调整，就能得到最合适的线路。

农技员的路线就是这样制定出来的。

经过数学的概括和加工，我们能够解决的问题，就从一个变成一大片了。

下图所示，是少年宫科技馆的平面图，分为五个大厅，相连的两个大厅都有门相通。请问：能一次不重复地经过所有的门吗？

学习欧拉的办法，用F表示室外，画出A、B、C、D、E、F为点的线图，用两点之间的连线表示门的通道。一看，A、F、C、D是偶点，B、E是奇点，共两个奇点，答案是：能够一次不重复地经过所有的门，可是必须以E作为始点、B作为终点。至于具体走法，可以有好多。

现在我们有必要来了解一下什么样的图能够一笔画成。

1. 全部都由偶点组成的联通图。

2. 只由两个奇点组成的联通图。

符合上面两个条件之一的图形都能够一笔画成。这里面出现了两个概念：偶点和奇点。所谓偶点就是由这个点发散出的线条数目是偶数(见图1);奇点就是由这个点发散出的线条数目是奇数(见图2)。

我们来看一个典型的一笔画图形：五角星(见图3)。我们发现五角星中一共有十个交点。外围有五个点，每个点都发散出两条线;中间有五个点，每个点都发散出四条线。我们判断五角星都是由偶点组成，因此能够一笔画成。

了解一笔画图形的构成之后我们再来看看如何识别一个图形是不是“一笔画”。请看以下考试图形推理真题：

从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：

【答案】B

【解析】通过观察图形可以发现题干中各个图形的组成比较简单，通过查找各个元素的数量均得不到规律，我们就要考虑是否是“一笔画”的问题。我们通过观察又发现：第一个图形左上和右下两个点都发散出了三条线，因此有两个奇点，能够一笔画成；第二个图形外围曲线与三角形有三个交点，这三个交点都发散出了四条线，因此第二个图形都由偶点组成，能够一笔画成；第三个图形也都是由偶点组成，可以一笔画成。而选项中，只有B选项都由偶点组成能够一笔画成，因此正确答案为B选项。A选项由六个奇点组成；C选项由四个奇点组成；D选项由四个奇点组成，不能一笔画成。

这里我们拓展一下，谈一下两笔画和三笔画的问题。其实这属于异曲同工，大家只要记住：每多一笔多两个奇点就可以了。即：两笔画——4个奇点;三笔画——6个奇点;以此类推。请看以下真题：

【答案】D

【解析】通过观察题干我们发现九宫格的八个图由上到下越来越复杂，在快速的尝试一些元素的数量都没规律的时候我们马上要想到“一笔画”的问题。第一行图都能够一笔画成；第二行第一个图是两个连通区域，因此两笔画，第二个图有四个奇点，因此两笔画，第三个图四个奇点，也是两笔画；第三行第一个图六个奇点，因此三笔画，第二个图有三个连通区域，因此三笔画。这就要求我们在选项中找到一个三笔画的图。A选项四个奇点，两笔画成，排除；B选项四个奇点，两笔画成，排除；C选项都是由偶点组成，一笔画成，排除；D选项两个连通区域，其中一个区域四个奇点，一个区域两个奇点，因此是三笔画成。正确答案就是D选项。

现在，你已经完全有资格，去担任童话中的妈蚁运动员的教练了。在六面体的一个角B上，有一只蚂蚁打算与角E上的一只蚂蚁比赛，看谁先爬到顶点D，条件是必须走过所有的棱线，而两只蚂蚁的爬行速度相同。你可以立刻判定：E处的蚂蚁先到达D点。因为这是一个空间的一笔画问题，有两个奇点D和E，E处的蚂蚁在一个奇点上，能够不重复走遍所有的楼，最后到达另一奇点D；而B处的蚂蚁位置，不能满足始点必须是奇点的条件，不可能不重复地走遍所有棱后到达D。既然它必须走重复的路，那就一定会多费时间了。

一笔画问题的核心，在于奇点的个数以及起点终点的选择。当所有结点都是偶点时，无论从哪个结点开始，都能一笔画完，且终点必然回到起点。

当只有两个奇点时，则会出现两种可能性。第一种，从偶点出发，则不可能一笔画完。第二种，从其中一个奇点出发，则可以一笔画完，且终点必为另一个奇点。

若奇点的个数，既不为0也不为2时，则不可能一笔画完。

一笔画问题，看起来简单，解决起来很难；等到弄清楚了道理，它又变得简单了。这也体现构建数学模型求解抽象问题的魅力吧。